Уже много раз доводилось слышать (ну, в смысле читать) всяческие размышления о некоей бесконечности (как бы самой по себе), при этом понятие сие («бесконечность») подразумевается вроде как математическим. Однако ж в математике, как я полагаю, такого термина, собственно, и нету (хотя есть много определений, в которых это слово фигурирует). Может, я-таки ошибаюсь (т.е. в математике есть термин «бесконечность»)?

Ну бесконечность, это ты махнул, ты лучше для начала дай определение числа, скажем рационального, точки, множества (оно определяется как совокупность, а что такое совокупность? Правильно, слово ) и прочих основопологающих вещей.
Я например не знаю.

Это я к тому что есть много понятий которые воспринимаются интуитивно и их невозможно формализовать.

Термин то есть, определения для него нету.
Точнее для каждго, конкретного случая свое определение....
З.Ы. мне вот это очень нравиться

Определение рационального числа даётся через понятие натурального числа. В свою очередь, понятие натурального числа вроде бы относится к категориям (т.е. это неопределяемое понятие).


Это категории. Причём они являются математическими терминами. «Бесконечность» же в математике как некий отдельный термин, насколько я мог видеть, не употребляется (в отличие от тех же слов «точка» и «множество»).


Что не всем понятиям можно дать определение, это в общем-то очевидно, ведь определение – это по сути всего лишь макроподстановка :-) Без категорий все эти макроподстановки будут образовывать бесконечные рекурсии. Но речь-то идёт не об этом, а том, является ли «бесконечность» термином.


Хотелось бы видеть пример употребления этого термина в математике (раз это термин, то он должен где-то употребляться, правда? :-) ).


Уточню: термины из нескольких слов, где фигурирует слово «бесконечность», меня здесь не интересуют.


Бессмыслица какая-то.

Понравившаяся мне статья на тему. Но я не математик. Как там всё на самом деле — не знаю)

в принципе, не так уж и редко рассматривают дополненную комплексную плоскость - добавляют туда точку, которая формально называется "бесконечность"
это удобно при некоторых рассмотрениях аналитических функций
определять эту точку совсем ни к чему
наоборот - доопределяются функции (как предел, обычно)
Добавлено @ 23:12

в принципе, его можно определить через понятие множества...

Термин бесконечность применяется, скажем, в теории пределов. lim (x->∞)... 

Не видал я в теории пределов такого термина. Да, есть определение предела_на_бесконечности, есть определение бесконечного_предела. Но термин «бесконечность» нигде явно не используется (или, по крайней мере, я такового использования не встречал). 

Вроде так оно и есть: есть термин "бесконечный", но нет термина "бесконечность". Последний относится скорее к математическому жаргону. 

Число считается бесконечно большим, если оно большее любого наперед заданного числа -- вариции на эту тему во многих учебниках матана есть. А термин "бесконечность" -- сокращение от бесконечно большого числа. 

бесконечно больших чисел не бывает
бывают бесконечно большие последовательности... 

Counting to Infinity

Infinity

Mathematics

The limit that a function f is said to approach at x = a when f(x) is larger than any preassigned number for all x sufficiently near a 

Касательно прилагательного «бесконечный» также есть сомнения, что это термин. Ведь фраза-шаблон «бесконечный <объект>» на самом деле мало что нам может сказать об объекте, поскольку не ясно, какие детали объекта рассматриваются. Например, говоря о бесконечности прямой, чаще всего (так сказать, традиционно) подразумевают, что на ней можно отложить отрезки сколь угодно большой длины, сами же отрезки считаются конечными в силу того, что они имеют (конечную) длину. Т.е. здесь мы уделяем внимание именно длине, а не чему-то другому. Однако никто не мешает нам рассмотреть отрезок как-то иначе: скажем, представить его как множество точек, которых в нём бесконечно много, и говорить, что отрезок бесконечен, подразумевая под этим бесконечность множества элементов, из которых он состоит.


Во множестве действительных чисел не бывает. Но никто не мешает рассматривать алгебру, где такие числа будут. Например, можно расширить обычную алгебру следующим образом.

Пусть (+∞) – бесконечно большое число, r – действительное число. Тогда
(+∞) + (+∞) = (+∞),
(+∞) * (+∞) = (+∞),
(+∞) + r = (+∞),  (+∞) – r = (+∞),
(+∞) * r = (+∞),  (+∞) / r  = (+∞),  // для r > 0
(+∞) * r = –(+∞) = (–∞),  (+∞) / r  = –(+∞) = (–∞),  // для r < 0
r / (+∞) = 0,
r < (+∞) = true,  r > (+∞) = false,
r < (–∞) = false,  r > (–∞) = true.

(+∞) – (+∞),
(+∞) * 0,
(+∞) / 0,
(+∞) / (+∞),
(+∞) < (+∞),
(+∞) > (+∞)  – а вот эти операции мы не разрешаем. 

Это сообщение отредактировал(а) UnrealMan - 20.4.2006, 09:52

мешает: то, что теперь операции не определены на всевозможных парах элементов
т.е. когда мы пишем a+b или a*b нам нужно уже думать, а насколько корректно такое выражение
для базовых операций в обычной алгебре дейцствительных чисел такого нет (ну разве что для деления на 0, но это уже - обратная операция, да и вообще - один случай)
появится куча недобств при "свободном обращении" с такими "числами"...
P.S.
хотя в некоторых случаях, если не очень увлекаться, то введение бесконечности, как формальной точки может быть удобно в некоторых частных случаях, например дополнение комплексной плоскость бесконечностью (и получается сфера) 

Мне кажется, что математика заканчивается на понятиях нуля и бесконечности - это её предел. Это как взаимоотторжение квантовой механики и теории относительности: когда обе точки зрения хороши, но неточны по своему, а следовательно обе в чём-то неправильны. 

Вопрос про бесконечность и нуль, мне всегда казался фундаментальным, т.к. это реальный тупик сознания и языков, объясняющих мироздание.