Как найти определитель матрицы NxN? Как математически найти это понятно! Помогите составить алгоритм!   
  
  Заранее благодарен!
  

А как ты делаешь это математически?
Алгоритмов нахождения определителя много, тебе какой? 

Ну например методом Крамера!

Тебе например, или любой, чтобы понять? 
Метод Крамера важен только для теории, на практике практически не применяется (сам попробуй матрицу 6х6).
Практически чаще всего (имхо) применяется какой-либо вид метода Гаусса, в любом случае слово "метод" можно заменить на "алгоритм". Данный метод опирается на следующие свойства определителя:
1. Если к одной строке матрицы прибавить другую, умноженную на константу K, определитель не изменится.
2. При перестановке двух строк местами определитель меняет знак.
(вышесказанное справедливо и для столбцов).
3. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.
Исходя из этих свойств, намечается путь: складывая одну строку с другой, умноженной на число и переставляя строки, приводим матрицу к верхне- или нижнетреугольному виду. После чего значение определителя легко находится произведением диагональных элементов, разумеется, с учетом знака, получившегося при перестановках.
Теперь конкретизируем:
Пусть имеется квадратная матрица A, с элементами a[i,j], i - номер строки.
Будем приводить ее к верхнетреугольному виду.
На первом шаге возьмем первую строку, и сложим ее последовательно со всеми нижележащими так, чтобы в первом столбце всех строк, начиная со второй, оказались 0. Разумеется, просто так сложить нельзя, надо каждый раз умножать эту строку на некоторую константу K, разную при каждом сложении.
На втором шаге берем вторую строку, и складываем с нижележащими совершенно так же, как и первую, только делая нули во втором столбце (в первом нули так и останутся).
Повторяем, пока не придем к последней строке, которую и складывать не надо. В результате получим треугольную матрицу.
Все замечательно, но, когда делаешь это с произвольной матрицей, могут найтись ловушки:
1. Что делать, если первый элемент первой строки - 0? На какую K ни умножай, как ни складывай, а ниже нулей не получится  Если учесть, что 0 на главной диагонали может получиться и на последующих этапах (и получается иногда, точно могу сказать!), становится немного грустно.
Выход - №2. Переставим эту проблемную строку с нижележащей, у которой в этом столбце не 0. И учтем, что определитель поменял знак.
Но тут сразу вторая ловушка:
2. А если в этом столбце в текущей строке и ниже - все нули?! С чем переставлять? Ответ: все, конец. Приехали, определитель равен 0, строки (или столбцы) линейно зависимы 
Теперь частности:
Что такое константа K? Допустим, нам нужно сложить i-ю строку со всеми нижележащими. Можно заметить, что нули нам нужны в i-м столбце, для строк от i+1 до n. То есть, все время смотрим на элемент на главной диагонали, a[i,i], он называется ведущим. Берем элемент точно под ним, a[i+1,i]. Нужно умножить a[i,i] на что-то (K) так, чтобы при сложении его с этим элементом получился 0. Дальше просто: K*a[i,i] + a[i+1,i] = 0, K = -a[i+1,i]/a[i,i] 
РАзумеется, при сложении строк складываются все элементы этих строк, умноженные на K. Неизбежно получим 0.
Теперь обмен строк, какую из нижележащих выбрать. Лучше всего брать ту, у которой модуль элемента в i-м столбце наибольший. Просто потому, что он станет ведущим, на него делить будут, и K будет наименьшим из возможных. Так точнее - число разрядов в компьютерном числе не так уж велико, и чем меньше число, тем меньше относительная погрешность.
Вот и все. Этот метод называется "метод Гаусса с выбором элемента по столбцу".
Найти - достаточно легко поиском ;)
Второй часто применяющийся метод, и как правило, более точный - LU-разложение, программу тоже легко найти

Вот и