Всем доброго времени суток!
В общем случае задача выглядит так: по нескольким известным точкам надо определить уравнение кривой 5 степени, проходящей через эти точки. Значит, выбираем 6 известных точек нашей кривой и составляем систему из 6 уравнений с 6 неизвестными коэффициентами:

--------------------------------------------------------------
a*x1(5 степень) + b*x1(4 степень) + c*x1³ + d*x1² + e*x1 + f = y1
a*x2(5 степень) + b*x2(4 степень) + c*x2³ + d*x2² + e*x2 + f = y2
.......................
.......................
.......................
a*x6(5 степень) + b*x6(4 степень) + c*x6³  + d*x6² + e*x6 + f = y6
--------------------------------------------------------------

где a, b, c, d, e, f - неизвестные;
x1, y1; x2, y2; .... ; x6, y6 - известные значения координат 6 точек, принадлежащих нашей кривой

Мне посоветовали решать эту систему уравнений с помощью матрицы:



И приводить ее в нормальный вид (сложением, вычитанием, умножением), чтобы диагональ состояла из едениц, а коэффициенты располагались в матрице след. образом:



Помогите с реализацией кода обработки матрицы и нахождения этих чертовых коэффициентов плз! Если алгоритм составления матрицы неверен, то посоветуйте какой-нибудь другой.

З.Ы: индексы и значения степеней больше 3 вставить не получилось, так что придется оставить все в таком корявом виде  

есть у нас тема "коллекция алгоритмов от John Smith"
там куча всего
в том числе и решение системы линейных уравнений:
http://forum.vingrad.ru/index.php?showtopi...st&p=285659

спасибо, сейчас посмотрю

В том разделе приведены решения систем линейных уравнений при известных коэффициентах, но в моем случае задача обратная: мы знаем 6 точек, принадлежащих кривой, т.е. значения х1, у1, х2, у2, .... ,  х6, у6, и необходимо найти коэффициенты (a, b, c, d, e, f). Как в таком случае решать данную задачу?

система линейных уравнений решается методом Гаусса. Вот тут есть исходники на Delphi для решения системы 4-го порядка (помоему):

http://student.rostov.ru/files/st_binary1250/gauss.rar

конечно, в задаче, для которой требуется найти a,b,c,d,e,f, они являются коэффициентами
но в подзадаче решения системы линейных уравнений они являются как раз неизвестными, а xi^n - коэффициентами

извиняюсь, я писал сообщение, когда топ выше еще небыл напечатан.

Тогда так: такие задачи решаются с помощью МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ или МНК. Поисчи в инете, может что-нить найдешь

Добавлено @ 17:41 
например тут: 

http://alglib.sources.ru/interpolation/linleastsq.php

http://revolution.allbest.ru/mathematics/00003949_0.html

http://chemstat.com.ru/glossary/least_squares.html

МНК, обычно, используется для тех случаев, когда точное решение найти не получается, кроме того он часто сводится опять же к решению системы линейных уравнений (если коэффициенты входят линейно в аппроксимирующую функцию)
а здесь вполне нормальная ситуация: 6 неизвестных, 6 уравнений

точно, как-то я не подумал...



это и есть СЛАУ

Вспомнил! Интерполяция это называется. Ща гляну...

Добавлено @ 18:22 
Есть отчет по лабе на эту тему, который я когда-то делал.
Только код в нём на Delphi
Вот он:

Добавлено @ 18:23 
ээээ... только там функция 2-го порядка....

Присоединённый файл ( Кол-во скачиваний: 8 )
 __2____.rar 97,97 Kb

Ага. Интерполяционный многочлен Лагранжа, по-моему, сам напрашивается при решении такой задачи) И ни каких систем не надо...

Pete, да да. именно этот многочлен использовался 

Угу. Формулы есть в учебниках, для многочленов любых степеней.

Господи! Да поиск 6 коэффициентов по 6 точкам - это же тупой СЛАУ! Составляем главную матрицу и 6 частных, считаем 7 определителей, делим - коэффициенты получены. Для уменьшения ошибки считаем определители по Гауссу с выбором главного по всей матрице. При этом ошибка получается обычно меньше, чем при приведении расширенной матрицы к единичной.

Если в значениях аргументов и функции есть скачки на порядки и система координат не поддается нормализации - вот тогда имеет смысл искать более устойчивые методы.

Вот так нам обьясняли решение этой задачи:

P(x)=y1*Q1(x1)+y2*Q2(x2)+...+yn*Qn(xn)

               (x-x2)(x-x3)...(x-xn)
Q1(x)= ------------------------------
            (x1-x2)(x1-x3)...(x1-xn)

               (x-x1)(x-x3)...(x-xn)
Q2(x)= ------------------------------
            (x2-x1)(x2-x3)...(x2-xn)

Общая формула имееет вид:

                 (X-X1)(X-X2)...(X-Xn-1)(X-Xn+1)...(X-Xm)
Qn(x)= -----------------------------------------------------------    ,где m - степень полинома, n - номер Q, 0<Q<=m.  
            (Xn-X1)(Xn-X2)...(Xn-Xn-1)(Xn-Xn+1)...(Xn-Xm)

А разве в СЛАУ степени переменных не единица? Тут многочлен 5 степени.

РЕБЯТА! Интерполяция не канает.
Во первых, по определению построения интерполяционного полинома: по n точкам строим полином этой же степени. То есть шестой, в нашем случае. Не годится.
Во вторых, по определению интерполяции: такой полином верен лишь на минимальном отрезке, содержащим данные точки. Дальше- задача экстраполяции. 

У нас на олимпиаде было: найти значение функции в такой-то точке, если даны такие-то. Точка была вне отрезка. Я ответил- "ноль, и попробуйте меня переубедить". Мне зачли решение. Вотъ.