Подскажите как аппроксимируется функция с помощью нейронных сетей. Не могу понять что подается на вход и что выходит на выходе.

Аппроксимация нейронными сетями аналогична любой другой аппроксимации. На вход вводятся координаты, с выходов снимаются соответствующие координатам значения функций. Главное отличие, если используются нейронные сети обучаемые с учителем, то надо такую сеть еще настроить. Тогда на входы сети подаются координаты из обучаемого множества, а на выходы - правильные значения. 

смысл в нейронных сетях в том, что они представляют собой универсальный аппроксиматор функций нескольких переменных

т.е. сложную функцию неизвестного внутреннего строения можно заменить более простой  нейросетевой аппроксимацией, зная только некоторый набор пар "вход"-"выход"....(причем вход и выход могут быть векторными величинами)

принципиальную возможность такой аппроксимации доказал советский математик Колмогоров....
была у него такая теорема, что на основе линейной комбинации нескольких одинаковых нелинейных функций (вроде произвольной, но по моим понятиям все таки с некоторыми ограничениями) многих переменных можно с любой точностью аппроксимировать любую функцию многих переменных