3 1 1
5 4 6
-5 -1 -3
Нужно найти Жордановы клеткИ, сделать м-цу, найти базис.
Вроде м-цу жорданову сделал, но все равно на соплях все. Базис вообще не получается ничего
Кто нибудь может, все, подробно объяснить? Я могу сказать где я запаролся, но это из за того что 
1)я не допонимаю материал
2)я не умею решать нормально системы ур-ий  
l1=-1, l2=l2=3 у меня получились собственные значения а сама жорданова м-ца
-2 0 0
0 3 1
0 0 3
Но, все равно не уверен. И как найти базис.
Похожую тему создавал SoWa но ему никто не ответил. Надеюсь, может хоть кто-то откликнется. Нефиг было весь семестр забивать линал )

Собственные значения: l1=-2, l2=l3=3. С их помощью получаешь собственные векторы. То что получишь можешь сравнить с результатами этого калькулятора
http://www.math.ubc.ca/~israel/applet/mcalc/matcalc.html
Потом записав векторы в матрицу получаешь матрицу С, при помощи которой уже считается J = С^(-1) * A * С (где A твоя матрица, а С матрица из собственных векторов).

Подробности тут Wiki.

Мы сначала ищем жорданову матрицу, а потом жордановый базис а не наоборот
я читал тут
http://www.dep805.ru/education/kk/jmatrix/part4.htm
Но блин. У меня проблемы именно в арифметике.
1)как найти собственные вектора? (A-LE)x=0; и как эту систему решить? Я пробую, но хорошо, если получается ФСР= c1(1,0,1)+c2(...) +c3(...)
То что нужно будет вписывать в матрицу с базисом?
2)Потом как найти присоединенные вектора
(A-LE)h=x; а что ставить вместо x если x = c1(..) +c2(..) и т.п.? И вообще там неоднородная система...

Я только собственные значения получить смог :(

Практический алгоритм такой ("Схема с башнями с наполнением"). Сначала ищутся собственные числа оператора A как корни его характеристического полинома det(A-tE).
Для каждого собственного числа строится своя схема с башнями. Для этого вводится оператор B=A-tE. Далее:
1. Ищется базис Ker B. Базисные вектора записываются в первую ступень схемы с башнями.
  Ищется относительный базис Ker(B^2) по Ker(B). Для этого базис Ker(B) достраивают до базиса Ker(B^2) векторами, которые выписывают во вторую ступень схемы с башнями.
  И так далее. Остановимся, когда Ker(B^(h+1)) = Ker(B^h) <=> rang(B^(h+1)) = rang(B^h) <=> построим столько векторов, какова кратность t в хар. многочлене.
2. Корректируем схему с башнями. Берём вектора из верхней ступени схемы с башнями, записываем их B-образы под ними, ступенькой ниже, достраиваем ступеньку линейно-независимым образом до её первоначальной длины векторами, которые уже были на этой ступеньке. И так сверху вниз по всем ступенькам.
Получим следующее: вся схема с башнями даёт базис корневого подпространства, соответствующего собственному числу t. Это подпространство распадается в прямую сумму циклических подпространств, корневой циклический базис каждого из которых записан в столбце схемы с башнями.
Упорядочиваем базис: первый столбец снизу вверх, второй столбец снизу вверх, и так далее.
Проделав такую процедуру для всех собственных чисел, упорядочив полученные базисы, получим базис всего линеала, в котором матрица оператора A имеет Жорданов вид, а именно, каждому собственному числу соответствует свой блок Жордана, который строится по соответствующей схеме с башнями. Блок Жордана есть блочно-диагональная матрица с блоками, которые есть клетки Жордана размеров, равных высотам столбцов в схеме с башнями, собственное число по диагонали клетки, единицы над диагональю.

Смотрим на практике:
 3  1  1
 5  4  6
-5 -1 -3
Собственные числа: -2 кратности единица и 3 кратности два.

Для собственного числа 3 составляем B=A-3E:
 0  1  1
 5  1  6
-5 -1 -6
Ker B = <(1 1 -1)*>, где * означает транспонирование, <> - линейная оболочка. Этот вектор обозначим s, его помещаем в первую ступень схемы с башнями. Далее строим B^2:
 0  0  0
-25 0 -25
 25 0  25
Ker B^2 = <(0 1 0)*, (1 0 -1)*>. dim Ker B^2 = 2, dim Ker B = 1, надо выбрать dim Ker B^2 - dim Ker B = 1 вектор, линейно-независимый с базисом Ker B. Допустим, это (1 0 -1)* = p, это и есть относительный базис Ker(B^2)/Ker(B). Этот вектор нужно поместить на вторую ступень схемы с башнями. Итого имеем два вектора, и кратность тройки в хар.мн. тоже 2, останавливаемся. (Даже если пытаться продолжить, строить Ker(B^3), окажется, что dim Ker(B^3)/Ker(B^2) = 0, в третьей ступени будет 0 векторов).
Теперь корректируем схему с башнями, заполняя её заново. Верхнюю ступень переписываем.
Теперь берём вектор p, строим Bp = (-1 -1 1)*, записываем его в первую ступень под p. В первой ступеньке был 1 вектор, в новой схеме уже есть один вектор, достраивать ступеньку не надо. Итак, схема с башнями имеет один столбец высоты два.

Для второго собственного числа строим B+2E:
 5  1  1
 5  6  6
-5 -1 -1
Ker(B)=<(0 1 -1)*=q>. И всё. Схема с башнями содержит одну-единственную клетку.

Строим Жорданову форму. Упорядочиваем базис: Bp, p, q. Матрица T, составленная из этих векторов:
-1  1  0
-1  0  1
 1 -1 -1
есть матрица перехода от базиса, в котором матрица имеет Жорданову форму, к естественному базису, в котором матрица была задана изначально.
Жорданова форма, V, состоит из двух блоков Жордана - по количеству собственных чисел. Первый блок, соответствующий собственному числу 3 (ведь мы первыми взяли именно корневые вектора, соответствующие ему - Bp и p), будет иметь вид
3 1
0 3
Второй блок будет просто -2. Итак, V:
3 1  0
0 3  0
0 0 -2
Для проверки: T V T^(-1) = A.

Если есть вопросы по практике или теории - задавайте, завтра вечером отвечу 

Это сообщение отредактировал(а) JAPH - 5.12.2007, 23:26

Присоединённый файл ( Кол-во скачиваний: 22 )
 DSC00674.part1.rar 585,94 Kb

вторая часть...

Присоединённый файл ( Кол-во скачиваний: 23 )
 DSC00674.part2.rar 475,39 Kb

cardinal, спасибо, только у меня почему то там всего один файл, с нахождением собственных значений. это как раз единственное что я 100% нашел  

Но судя по тому, что ты их нашел неправильно (см. твой первый пост), я решил выложить решение. Но наверно ты просто опечатался выше.

Если еще надо, то позже могу выложить пример решения

cardinal, Ой, извини пожалуста, -2 и 3 получается. как у JAPH. Это была опечатка
Меня именно напрягает всегда решение системы. Вот просто написал бы ты, как найти базис. 

JAPH, Ты сложновато написал  Я незнаю что значит Ker и т.п., ну пробивал я линал  Сейчас нужно просто научиться алгоритму решения. Но меня останавливается
Для второго собственного числа строим B+2E:
 5  1  1
 5  6  6
-5 -1 -1
Ker(B)=<(0 1 -1)*=q>. И всё. Схема с башнями содержит одну-единственную клетку.

Т.е. как я понимаю 0 1 -1 это решение системы. А у меня проблемы с этими решениями. Ну например решаю я 
(A-LE)x=0; нахожу ФСР(что чаще вообще не получается) и x=c1(1,2,3)+c2(4,0,1) + c3(0,0,1) например
И что, здесь, собственный вектор? ) И что подставлять когда (A-LE)h=x (присоединенный)...
А так конечно круто написал, я ещё почитаю, просто линал будет в понедельник, на выходных ещё попыхчу... 

Пример для собственного значения -2...

Присоединённый файл ( Кол-во скачиваний: 15 )
 DSC00675.rar 593,99 Kb

Ker(B) есть ядро оператора B. Ищется оно как ФСР СЛАУ Bx=0.
Пусть B:
 5  1  1
 5  6  6
-5 -1 -1
Решаем систему методом Гаусса, делая преобразования над строками с целью выделить ранговую единичную подматрицу. Вычитаем из второй строки первую, к третьей прибавляем первую.
 5 1 1
 0 5 5
 0 0 0
Строку из нулей отбрасываем, вторую делим на пять
 5 1 1
 0 1 1
Из первой вычитаем вторую
 5 0 0
 0 1 1
Первую делим на пять
 1 0 0
 0 1 1
Первый и третий столбцы образуют единичную подматрицу. Значит, первая и третья переменные главные/зависимые, вторая - свободная/независимая. Независимых переменных одын штука, значит, в ФСР один вектор. <(? ? ?)*> На местах свободных переменных ставим единичную матрицу <(? 1 ?)*>
Далее, оставшиеся места заполняем столбцами с обратными знаками, номер столбца соответствует позиции единицы. Единичка в <(? 1 ?)*> на втором месте => второй столбец с обратными знаками на свободные места. Получим <(0 1 -1)*>.

Это сообщение отредактировал(а) JAPH - 7.12.2007, 10:30

JAPH, опять научным языком говоришь   Я тут немного в интернете почитал, смотри, какой вопрос.
1)Если не получится представить в виде едеениц и нулей. ну допустим
2 0 1
3 4 0. Тут нету единичной м-цы. Ну или любой другой пример. 
2)Почему именно 1 и 3 составляют ед. м-цу? 1 и 2 тоже. Есть ли разница в решении 0 1 -1 и 0 -1 1?
Когда мы м-цу упростили получили x1=0; x2+x3=0 и туда подойдут оба решения.
Мне не совсем понятно что ты в конце написал, но самое главное, я не совсем понимаю как выбрать свободные переменные которым мы потом будем присваивать поочериде значения определителя ранга n-r, еденичного. верней м-цы. Ну  это я в инете прочел.  
Мы оказывается делали на подобии только обозначали C1,C2... 


Я так понимаю можно выбрать любые переменные свободными, только n-r чтук? 
cardinal, спасибо, посмотрел. ещё потренируюсь решать какие нибудь системы, если что спрошу. Но вопрос про свободные переменные (см. выше) я так и не совсем уверен. Т.е. ты тут выбрал x2=1, но тут то ладно. а если система 3х3 хотя бы.. как что выбирать.. )

И ещё, имеет ли разница в какой последовательности расположить Жордановы клетки?
У JAPH 
3 1  0
0 3  0
0 0 -2
У меня
-2 0 0
0 3 1
0 0 3
Вроде одно и тоже просто клетки по разному расположены...

Ещё, решил систему с 
011
516
-5-1-6
получилось -1 -1 1. а у JAPH 1 1 -1. Оба подходят. Это нормально да?

Это сообщение отредактировал(а) Ripper - 7.12.2007, 19:49

Так, ещё вопрос. Допустим у нас есть... ну скажем 2 клетки для 2х Лямбда (это корни характеристического ур-ия).
Одна клетка 1 порядка, другая третьего. Значит у нас 1 собственный вектор для первого лямбда, 1 собтвенный для второго и 2 присоединенных для 2 лямбда? Т.е. кол-во присоединенных это порядок клетки - один (один как бы собственный вектор)?
И потом, как решить ур-ие 
(ссылка http://www.dep805.ru/education/kk/jmatrix/part4.htm читал тут)
(A-LE)h=x. L - корень хар. ур-ия, h присоединенный вектор, а x - собстенный. Если мы нашли x=(-1,-1,1) то получается неоднородная система. Напимер для
0 0 0
-25 0 -25
25 0 25
Она ещё и не разрешим, т.к. слева нули справа число. (0x1+0x2+0x3=-1)

Или же нам нужно решать ур-ие (A-LE)^2 *h = 0 и оттуда находить присоединенный вектор?
И если окажется что n-r=2 например, то нужно взять один из двух, чтобы все три вектора который составляют базис были линейно независимые? 
 
Кстати Жорданову м-цу из клеток я находил другим путеМ, как в ссылке. Но незнаю почему
C= 
-1 0 -1
-1 -1 0
1 1 1
C^-1 = 
-1 -1 -1
1 0 1
0 1 1
J=C^-1*A*C у меня не получается. Но собственно выше я задал вопрос о том как распологать вектора.

Это сообщение отредактировал(а) Ripper - 7.12.2007, 20:23

Всё равно, что брать в качестве решения, (1 1 -1) или (-1 -1 1), главное, что их линейные оболочки равны. (вектора-то линейно-зависимы)

Добавлено через 1 минуту и 57 секунд
Жорданова форма матрицы единственна с точностью до порядка следования блоков вдоль главной диагонали. Ещё, правда, встречаются Жордановы клетки вида
t 0 0
1 t 0
0 1 t

Это сообщение отредактировал(а) JAPH - 7.12.2007, 20:56

Это сообщение отредактировал(а) JAPH - 7.12.2007, 21:27