1) Разбиваем отрезок на много кусочков. Для простоты - равных. 
2) Считаем, что искомая функция с хорошей точностью описывается на каждом кусочке отрезком.
3) Для кусочка от x_k до x_{k+1} записываем разностную аппроксимацию уравнения. Например, в таком виде:

  (u_{k+1}-u_k)/(x_{k+1}-x{k}) + u_k = x_k/(x_k+1)^2

4) Если кусочки равные и их N, то x{k}=k/N. Тогда аппроксимация переписывается в виде:

  (u_{k+1}-u_k)*N + u_k = k/N/(k/Nx+1)^2

5) Записав такие уравнения для всех k от 0 до N-1, получаем систему N линейных уравнений относительно N+1 неизвестных u_k. Чтобы ее решить, нужно еще одно уравнение, это u_0=1 (из начального условия). 

6) Получившуюся линейную систему решаем каким-нибудь методом (можно банальным Гауссом, но проще чем-нибудь итерационным, поскольку у матрицы системы явно будет диагональное преобладание).

Все. При желании можно считать, что на каждом отрезке решение представляется не линейной функцией, а какой-то более сложной. Если задача не одномерная, то появится еще один вопрос - выбор вида элементов (в одномерном случае это только отрезки, но уже в двумерном могут быть квадратики, треугольнички и т.д.).

Фантом, кажись это МКР, а не МКЭ.

Когда кажется креститься надо. Вы ошибетесь.  

Фантом, мне не совсем понятны ваши обозначения:

как я понял
u_{x+1} - это u(k+1) - значение искомой функции в правом узле k-го элемента
u_k         - это u(k)

а что такое - x_{k+1}, x_{k} и x_k ?

ладно предположу, что x_{k} и x_k - это одно и то же:

но ведь (u_{k+1}-u_k)/(x_{k+1}-x{k}) + u_k = x_k/(x_k+1)^2 - это разностное уравнение, при помощи которого мы рекурсивно (с определенным шагом, отталкиваясь от начального условия u(0)=1) вычисляем значения ф-ции u до необходимого нам u(X).

то есть применяем МКР, разве нет?

Pavia не надо острить, так вы не поможете.


Это сообщение отредактировал(а) wowka19 - 23.11.2012, 13:27

Ну, справедливости ради надо сказать, что в данном случае разница между ними невелика.   



Нет, k+1-ого (нумерация элементов начинается с единицы). 



Да. 



Значения аргумента на соответствующих границах элементов. x_{k} и x_k действительно одно и то же.


Как я уже писал выше, разница между этими методами в одномерном случае достаточно условна. Фактически она определяется способом решения системы линейных алгебраических уравнений. Если Вы решаете его методом прогонки (так, как предлагаете выше) - это больше похоже на МКР. Если система решается каким-либо нерекуррентным методом (Гаусс, Зейдель и т.п.) - МКЭ.

Разница между методами была бы более заметной, если бы Вы в качестве примера взяли нелинейное уравнение и/или двумерный случай и/или краевую задачу вместо задачи Коши. Правда, боюсь, в этом случае мне было бы лень расписывать решение, особенно с учетом невозможности пользоваться TeX'овскими правилами записи формул.  

Добавлено через 4 минуты и 35 секунд
Да, кстати, еще одна добавка, которую можно было бы сделать для вящей наглядности - построить неравномерную сетку. Если предварительно получить каким-либо способом грубое решение задачи или просто оценить его вид из физических соображений (МКЭ все-таки практически всегда применяется для решения задач, возникших в прикладных областях), то можно сделать сетку более густой там, где решение быстрее меняется и/или в нем ожидаются какие-то интересные особенности (в обиходном смысле слова). Для многомерных задач это часто оказывается весьма полезной вещью.

А вы не путаете конечно-разностную аппроксимацию по времени с МКР который в данном контексте относится к аппроксимации пространственных дифференциальных операторов?

Хм... по-видимому, мне так и не удалось понять, что Вы хотели сказать. И МКР, и МКЭ - вообще говоря, исходно чисто математические методы.

Я не очень владею русской терминологией в этой области, поэтому могу тупить. Но мне непонятна была классификации МКР/МКЭ на основе метода решения. 

Дело в том, что в моём понимании МКР является частным случаем МКЭ. Если задана сетка, удовлетворяющая условиям регулярности (http://en.wikipedia.org/wiki/Regular_grid), соответствующие базисные функции и полином низшей степени показывают, что МКЭ вырождается в МКР.

При этом, опять же, если мы решаем PDE, где есть производная по времени (i.e. time-dependent problem), то мы, соответственно, можем использовать МКР или МКЭ для дискретизации пространства и конечные разности для дискретизации проихводных по времени. Как вы при этом находите решение на каждом временном шагу чисто технический момент. 

Это сообщение отредактировал(а) W4FhLF - 24.11.2012, 03:01

Это ни в коем случае не классификация. Просто задача настолько проста, что от характерных черт метода остаются только жалкие огрызки.


Да, конечно.


Да, по-видимому, я понял правильно.   

Если для части переменных ("времени") есть начальные условия, а для части ("координат") - краевые, то так и имеет смысл делать. Но в данном случае заказчик желал решать методом МКЭ одномерную задачу Коши, причем для линейного (хотя и неоднородного) уравнения. Понятно, что его решение с помощью МКЭ сродни почесыванию правой ногой левого уха, но формально эо сделать можно.   

Фантом, W4FhLF Ок!
Как я понял задача слишком проста для яркого и выразительного применения МКЭ.

Давайте попробуем на двумерном случае:



Нужно найти значения функции u на области [0,1]x[0,1].
Значения функции u
при x=0 (граница C на рисунке) = -y^2
при x=1 (граница D на рисунке) = -y^2 - 1
при y=0 (граница A на рисунке) = -x^2
при y=1 (граница B на рисунке) = -x^2 - 1

Число отрезков разбиений по осям X и Y: N = 100
Точность решения: e = 0.001

Разбиение на равные равнобедренные прямоугольное треугольники. Как я понял их получится 2*N*N

Это сообщение отредактировал(а) wowka19 - 24.12.2012, 14:47

Попробуйте. А мы, если что, поправим.   

если бы я знал, то не стал бы писать сюда

Можете привести свой пример со своими условиями - как вам удобней. Лишь бы он был как можно наглядней и выразительней.


Это сообщение отредактировал(а) wowka19 - 25.12.2012, 09:40

Хм... кому как, но мне несколько лень тратить на это занятие время (а потратить его придется, выписывание такой задачи с детальными объяснениями коротким не будет). Попробуйте все-таки что-то сделать сами.

(http://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_конечных_элементов)
 - объясните что за функция v?


так в этом и проблема - я знаю что требует задача (найти u/решить диффур) и что решением является массив точек-границ между эл-ми на которые мы разбили область, но как к ней (задаче) подступиться - понятия не имею.
Такие понятия (в приведенном мною 2мерном случае) как локальная матрица жесткости, глобальная матрица жесткости только сильнее запутывают, функция v из какого-то пространства H не понятно откуда и зачем.
Что из себя представляет базисная ф-я в двумерном случае...
Вопросов много, ответов - 0

Кусочно-линейная функция, являющаяся приближением к искомому решению.


Насколько хорошо Вы знаете математику? Можно даже проще - какой ВУЗ и по какой специальности закончили (или на каком курсе учитесь)?