Кто-нибудь объясните МКЭ "на пальцах". Гугл не помог, так как найденные с его помощью статьи о данном методе написаны специалистами для специалистов (например эта - http://rk6.bmstu.ru/electronic_book/functi...l/mke/mke.html).
Буду очень благодарен.

квантовую механику на пальцах объяснить?   
в википедии довольно популярно разъяснено http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%...%82%D0%BE%D0%B2
что конкретно непонятно?

если совсем на пальцах - сложная непрерывная функция интерполируется дискретными кусочками простых. 
форма простых элементов зависит от числа аргументов целевой функции, обычно это 2 или 3. соответственно простейшими конечными элементами будут отрезок(1d), треугольник(2d), тетраэдр(3d).
в узлах соединения конечных элементов значения функций равны. это позволяет составить систему уравнений, решая которую, имеем значения функции в узлах сетки.

а в чем смысл? то что ты сказал, я вычитал из множества источников раз 50.

попробуем по-другому:

зачем аппроксимировать сложную функцию, не проще просто вычислить ее с нужными нам аргументами?


 - к этому позже придем

Это сообщение отредактировал(а) wowka19 - 21.11.2012, 11:41

может кто приведет пример решения какой-нибудь ооооочень простой задачи этим методом?

дело в том, что функция нам не известна, известно лишь диф. уравнение, в котором эта функция участвует

http://www.cneat.ru/lex3.html

спасибо за ссылку. Начало доступное, но потом автор усложняет и мысль теряется...
Увы, пока эффект нулевой   

может кто приведет более доступный пример?   

Это сообщение отредактировал(а) wowka19 - 21.11.2012, 15:57

куда доступней то? с арифметики начать?

Добавлено через 1 минуту и 28 секунд

проще, увы, не получится)))

не согласен. он там про деформацию задвигает и ... в общем можно явно проще пример привести...


baldina, приведи свой пример.. типа изначально есть то-то и то-то, нужно найти то-то и понеслось...

и вообще для начала можешь конкретизировать - что решает этот МКЭ?


Это сообщение отредактировал(а) wowka19 - 21.11.2012, 16:09

МКЭ это общий метод. Таким способом численно решается множество разных задач (например из механики, гидравлики, газодинамики, теории горения, теплообмена и пр.). Естественно, что решая конкретную задачу требуются определенные знания в предметной области.
Хотя законы Ньютона и Гука, которые используются в вышеупомянутой статье, изучают еще в средней школе.

Если абстрактно, без физики, то пример будет, боюсь более непонятным. Вот в википедии - вполне себе нормальный простейший пример для одномерной задачи u''(x)=f(x); x=[0,1]; u(0)=u(1)=0; f(x) известна. Если f(x) невозможно проинтегрировать в явном виде, решение ищется приближенно, интерполяцией отрезками (линейными функциями). область определения разбивается на кусочки (таким образом модель разбивается на конечные элементы), каждая линейная функция действует на своей области определения. объединяя эти функции получаем систему линейных уравнений, которую уже можно решить.
только, думаю, понятнее не стало 

Добавлено через 2 минуты и 21 секунду
а вообще, пример с защемлённой балкой, разбитой на два конечных элемента, имхо простейший. не в смысле простой, а в смысле - проще не бывает. хотя, может, кто-то знает более простой пример?

пример на вики простой, НО во-первых абстрактный (просто f(x), нет бы КОНКРЕТНЫЙ пример привести), а во-вторых ну непонятно там объясняется:





Это сообщение отредактировал(а) wowka19 - 21.11.2012, 16:46

Это неверное, в общем случае, утверждение.


wowka19, это всё объясняется в любой книге по МКЭ. Если статья из вики непонятна, надо начинать с основ, если книги по МКЭ непонятны, надо начинать с ещё более ранних основ. МКЭ -- это не та область, которую можно понять интуитивно, чтобы применять для решения своих задач. Более, в общем случае МКЭ слишком обширная бурно растущая область, лучше сосредоточиться на решении конкретной задачи, которая перед вами стоит.

W4FhLF, ок. Вот конкретная задача:

функция: u' + u = x/(x+1)^2,  u(0) = 1
найти значения u на отрезке 0 < x < 1

как при помощи МКЭ ее решить?


Это сообщение отредактировал(а) wowka19 - 22.11.2012, 04:19

в википедии куча ссылок на всякие программы и библиотеки, но непонятно что они могут. 
всё сводится к постановке задачи в виде PDE?
т.е. вся система FEM это PDE solver+grid(mesh) generator?

допустим рассмотрим простой пример, шар падает на палку из пластилина и оставляет вмятину как это задаётся в виде PDE?
как задаются материалы и свойства материалов? как с FEM связана всякая классическая механика?(т.е. тут даже вопрос скорее что можно моделировать, а что нельзя , например жидкости?)

не пойму, что ты хотел сказать. Если это вопрос, то как-то не по теме.

1) Разбиваем отрезок на много кусочков. Для простоты - равных. 
2) Считаем, что искомая функция с хорошей точностью описывается на каждом кусочке отрезком.
3) Для кусочка от x_k до x_{k+1} записываем разностную аппроксимацию уравнения. Например, в таком виде:

  (u_{k+1}-u_k)/(x_{k+1}-x{k}) + u_k = x_k/(x_k+1)^2

4) Если кусочки равные и их N, то x{k}=k/N. Тогда аппроксимация переписывается в виде:

  (u_{k+1}-u_k)*N + u_k = k/N/(k/Nx+1)^2

5) Записав такие уравнения для всех k от 0 до N-1, получаем систему N линейных уравнений относительно N+1 неизвестных u_k. Чтобы ее решить, нужно еще одно уравнение, это u_0=1 (из начального условия). 

6) Получившуюся линейную систему решаем каким-нибудь методом (можно банальным Гауссом, но проще чем-нибудь итерационным, поскольку у матрицы системы явно будет диагональное преобладание).

Все. При желании можно считать, что на каждом отрезке решение представляется не линейной функцией, а какой-то более сложной. Если задача не одномерная, то появится еще один вопрос - выбор вида элементов (в одномерном случае это только отрезки, но уже в двумерном могут быть квадратики, треугольнички и т.д.).

Фантом, кажись это МКР, а не МКЭ.

Когда кажется креститься надо. Вы ошибетесь.  

Фантом, мне не совсем понятны ваши обозначения:

как я понял
u_{x+1} - это u(k+1) - значение искомой функции в правом узле k-го элемента
u_k         - это u(k)

а что такое - x_{k+1}, x_{k} и x_k ?

ладно предположу, что x_{k} и x_k - это одно и то же:

но ведь (u_{k+1}-u_k)/(x_{k+1}-x{k}) + u_k = x_k/(x_k+1)^2 - это разностное уравнение, при помощи которого мы рекурсивно (с определенным шагом, отталкиваясь от начального условия u(0)=1) вычисляем значения ф-ции u до необходимого нам u(X).

то есть применяем МКР, разве нет?

Pavia не надо острить, так вы не поможете.


Это сообщение отредактировал(а) wowka19 - 23.11.2012, 13:27

Ну, справедливости ради надо сказать, что в данном случае разница между ними невелика.   



Нет, k+1-ого (нумерация элементов начинается с единицы). 



Да. 



Значения аргумента на соответствующих границах элементов. x_{k} и x_k действительно одно и то же.


Как я уже писал выше, разница между этими методами в одномерном случае достаточно условна. Фактически она определяется способом решения системы линейных алгебраических уравнений. Если Вы решаете его методом прогонки (так, как предлагаете выше) - это больше похоже на МКР. Если система решается каким-либо нерекуррентным методом (Гаусс, Зейдель и т.п.) - МКЭ.

Разница между методами была бы более заметной, если бы Вы в качестве примера взяли нелинейное уравнение и/или двумерный случай и/или краевую задачу вместо задачи Коши. Правда, боюсь, в этом случае мне было бы лень расписывать решение, особенно с учетом невозможности пользоваться TeX'овскими правилами записи формул.  

Добавлено через 4 минуты и 35 секунд
Да, кстати, еще одна добавка, которую можно было бы сделать для вящей наглядности - построить неравномерную сетку. Если предварительно получить каким-либо способом грубое решение задачи или просто оценить его вид из физических соображений (МКЭ все-таки практически всегда применяется для решения задач, возникших в прикладных областях), то можно сделать сетку более густой там, где решение быстрее меняется и/или в нем ожидаются какие-то интересные особенности (в обиходном смысле слова). Для многомерных задач это часто оказывается весьма полезной вещью.

А вы не путаете конечно-разностную аппроксимацию по времени с МКР который в данном контексте относится к аппроксимации пространственных дифференциальных операторов?

Хм... по-видимому, мне так и не удалось понять, что Вы хотели сказать. И МКР, и МКЭ - вообще говоря, исходно чисто математические методы.

Я не очень владею русской терминологией в этой области, поэтому могу тупить. Но мне непонятна была классификации МКР/МКЭ на основе метода решения. 

Дело в том, что в моём понимании МКР является частным случаем МКЭ. Если задана сетка, удовлетворяющая условиям регулярности (http://en.wikipedia.org/wiki/Regular_grid), соответствующие базисные функции и полином низшей степени показывают, что МКЭ вырождается в МКР.

При этом, опять же, если мы решаем PDE, где есть производная по времени (i.e. time-dependent problem), то мы, соответственно, можем использовать МКР или МКЭ для дискретизации пространства и конечные разности для дискретизации проихводных по времени. Как вы при этом находите решение на каждом временном шагу чисто технический момент. 

Это сообщение отредактировал(а) W4FhLF - 24.11.2012, 03:01

Это ни в коем случае не классификация. Просто задача настолько проста, что от характерных черт метода остаются только жалкие огрызки.


Да, конечно.


Да, по-видимому, я понял правильно.   

Если для части переменных ("времени") есть начальные условия, а для части ("координат") - краевые, то так и имеет смысл делать. Но в данном случае заказчик желал решать методом МКЭ одномерную задачу Коши, причем для линейного (хотя и неоднородного) уравнения. Понятно, что его решение с помощью МКЭ сродни почесыванию правой ногой левого уха, но формально эо сделать можно.   

Фантом, W4FhLF Ок!
Как я понял задача слишком проста для яркого и выразительного применения МКЭ.

Давайте попробуем на двумерном случае:



Нужно найти значения функции u на области [0,1]x[0,1].
Значения функции u
при x=0 (граница C на рисунке) = -y^2
при x=1 (граница D на рисунке) = -y^2 - 1
при y=0 (граница A на рисунке) = -x^2
при y=1 (граница B на рисунке) = -x^2 - 1

Число отрезков разбиений по осям X и Y: N = 100
Точность решения: e = 0.001

Разбиение на равные равнобедренные прямоугольное треугольники. Как я понял их получится 2*N*N

Это сообщение отредактировал(а) wowka19 - 24.12.2012, 14:47

Попробуйте. А мы, если что, поправим.   

если бы я знал, то не стал бы писать сюда

Можете привести свой пример со своими условиями - как вам удобней. Лишь бы он был как можно наглядней и выразительней.


Это сообщение отредактировал(а) wowka19 - 25.12.2012, 09:40

Хм... кому как, но мне несколько лень тратить на это занятие время (а потратить его придется, выписывание такой задачи с детальными объяснениями коротким не будет). Попробуйте все-таки что-то сделать сами.

(http://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_конечных_элементов)
 - объясните что за функция v?


так в этом и проблема - я знаю что требует задача (найти u/решить диффур) и что решением является массив точек-границ между эл-ми на которые мы разбили область, но как к ней (задаче) подступиться - понятия не имею.
Такие понятия (в приведенном мною 2мерном случае) как локальная матрица жесткости, глобальная матрица жесткости только сильнее запутывают, функция v из какого-то пространства H не понятно откуда и зачем.
Что из себя представляет базисная ф-я в двумерном случае...
Вопросов много, ответов - 0

Кусочно-линейная функция, являющаяся приближением к искомому решению.


Насколько хорошо Вы знаете математику? Можно даже проще - какой ВУЗ и по какой специальности закончили (или на каком курсе учитесь)?

Нам давали "Краткий курс математического анализа", "Дискретная математика", "Вычислительная математика", "Модели и методы анализа проектных решений". На выч. мате мы кратко познакомились с МКР и МКЭ - с последним я не совладал.

Далее на ММАПР в первом семестре мы разбирали МКР подробнее (помню условия устойчивости разбирали), а в следующем (тоже ММАПР) - подробнее разбирали МКЭ.

К сожалению этот последний год (ММАПР) прошел как в тумане, на лекциях чувствовал себя полным идиотом.


Это сообщение отредактировал(а) wowka19 - 26.12.2012, 18:26

М-да, немного. Тогда зачем он Вам нужен?

Для меня первой книжкой по МКЭ была О.Зенкевич, К.Морган "Конечные элементы и аппроксимация". Изложение на "рабоче-крестьянском" языке. Поищи книгу в какой-нибудь центральной библиотеке.