DeadLine, производная вычисляется как (f(x)-f(x+dx))/dx..

http://mal-hack.net/products/delphi/?get=mgtu1/Functions.rar 
Ищи df_dx, d2f_dx2.
Если короче, то первая производная: (f(x + dx) - fx ) / dx;
вторая: ( f( x + dx ) - ( 2 * f( x ) ) + f( x - dx ) ) / sqr( dx );
где dx меньше X на несколько порядков.

Как-то пробовал такой алгоритм реализовать 
Столько граблей   
И все с представлением действительного числа и каким нужно брать dx  

Че тут разбираться... Банальная математика.


Ссылку, пожалуйста.



При чем тут числа?
dx, как правило, берут на 3-4 порядка меньше, чем X. Это же просто небольшое приращение..

А при том, что у мя не получалось вычислить производную с заданной точностью 

Какие-то были грабли  И именно с точностью 

Странно  Сейчас все работает   

Кста у описка в формуле, надо так:

(f(x+dx)-f(x))/dx


А если человек банально не знает что это такое?
В 10-м классе, например 

Ага... особенно в точке Х = 0   

Akina, это частный случай 


Дык вроде же в 10 банально производные дают. Не знаю, не учился...

Какой темный лес. Обратная операция к дифференцированию...
Как говорил один профессор: "Техника дифференцирования и искусство интегрирования".

Гы.   

TwisT_X, Производная это предел к которому стремится отношение приращения функции,к приращению аргумента,при устремлени последнего у 0.
Еще она выражает тангенс угла наклона прямой к оси OX.

DF/Dx = Lim(дельта(f)/дельта(x)) , дельта(x) -> 0
Если нужны последующие,то берешь производную от первой итд.
В случае если функция зависит не от 1 переменной,дело чуточку усложняется.
Еще нужно учитывать вариант со сложной функцией итд итп,короче почитай про это дело... у Фихтенгольца в его учебнике - "Математический анализ".

Оччень интересно 
А ты знаешь, что производная показывает поведение функции на интервале, а не в точке?
Т.о. для вычисления второй производной нужно минимум две точки первой    

Чистая математика тут не прокатит, нужны численные методы. Типа формулы Mal Hack-а.

В математике это действительно так. 
А вот в информатике интергировать значительно легче   

Не совсем понял.
Ну беру я производную от y = x^2.Это y' = 2*x.Потом еще одну y'' = 2  ,x определено везде.
И что? 

Можно добавить что не у всех функций есть производные n-го порядка на заданном интервале.

Обьясни где ошибся.

Объясняю: нигде   

Вот только нельзя  тяжело научить компьютер находить производную используя аналитическую запись функции   

Нерационально обучать его правилам нахождения производной типа:

Для него, так как он отлично считает, удобна формула .

Вот только проблемма: какой должен быть dx?
Очень маленький --- компьютер просто не сможет с ним работать --- не хватит точности.
Большой (относительно) --- будет неточная производная   

Чтобы найти вторую производную значение второй производной по этой формуле нужны две точки первой производной, и т.д.
Формула Mal Hack-а 
,
в этом случае, подходит больше.


Точно, но во втором полугодии, которое только началось  

Что верно, то верно.



Невозможно   в принципе.


Вообще производная показывает тангенс угла наклона касательной в точке кривой...

А чё так?   

Сам хотел так написать, но не люблю таких фраз   
ИМХО, научить компьютер считать производные, хотя бы  на уровне школьника, можно 
Умеет же он анализировать аналитическую запись 
Типа 5+6*(468*45^122).... 
Можно попробовать и производным научить, вот только это не рационально   

Это геометрический смысл первой производной 

Это сообщение отредактировал(а) ivashkanet - 3.1.2007, 15:13

есть куча "неберущихся" интегралов, которые люди не умеют аналитически брать. например, f(x)= sin(x)/x.
а с таким "учителем" и "ученик"(т.е. компьютер) не разберется. 

ivashkanet, я имел ввиду универсально....


Ага... Но я все равно клоню к тому, что это в точке.

Стоп, стоп, стоп.

skyboy, что такое "неберущийся интеграл"? Это тот, который нельзя представить в виде комбинации элементарных функций (многочлены, логарифмы, степени, синусы, ...)

Но что нам мешает ввести новую функцию: Интегралус (  )

S_^x ---- интеграл от 0 до X

Почему ее нет до сих пор? Да потому, что она не нужна была еще 

А вот интеграл от плотности p(x) нормального распределения, который тоже "неберущийся" очень важен 


Поэтому ему дали имя, вернее не ему, а частному случаю к кторому легко сводится общий:

И даже не имя, а букву --- большую Ф (греческая фи).

Добавлено @ 15:38 

Значение производной --- в точке, но оно показывает поведение в очень маленькой окрестности этой точки 

Например просто значение функции --- показывает поведение только в этой точке, и не зависит от соседних. 
А вот производная нет, очень даже зависит   
Измени соседнюю (очень близкую к этой) точку (значение в ней) так, чтобы функция осталось дифференцируемой --- значение производной изменится
  


Универсально? 
Что ты имеешь ввиду под универсальностью?
Даже на уровне человека, ИМХО, можно. Но вот стоит ли оно того? ИМХО, нет   

Ребята. Существуют два "типа" решения интегралов и производных аналитические и дискретные (numeric) (Уж простите, если не те термины в русском языке)

С производными у компа вообще нет проблем ни с теми, не с другими типами решения.
Дискретно: 
берём саму точку и вырешиваем градиент к предыдущей и к последующей. Повышая количество предыдущих и последующих точек - увеличиваем окрестность.
Аналитически:
Вот один из возможных методов. Во всяком случае я его применял когда-то. Вот кстати проектик, который мы с моей девушкой делали  Это калькулятор для функций. Он производную легко находит 

С дискретными решениями интегралами у компа также проблем нет. Просто вырешиваем суммарную площадь трапеций.
А вот с аналитическими методами - это уже тяжелее. Там надо смотреть, на что интеграл похож, а комп это очень плохо умеет. Но насколько я слышал - какие-то библиотекии около 5 лет назад всё же появились для этого. Но я ими уже не интересовался к тому времени   

именно! потому что в случае генерации "синтетической" функции(функции, не выражаемой через элементарные функции и функции, сводимые к ним) мы не обретаем возможности генерировать значения функции для любого значения аргумента. Вот функция Ф(х). Какое значение Ф(0,25)?
Потому вместо измышлений функций(которое годится в аналитическом интегрировании для сведения "неизвестных" интегралов к "известным") стОит просто продуманно подойти к численному интегрированию . По-моему, "научить" комп интегрировать аналитически - сейчас невозможно. точнее, невероятно сложно - не тот математический аппарат(сужу, конечно же, только  по себе), чтоб описывать анализ "всех" функций; не те языки программирования(чтоб можно было легко и непринужденно писать подобные программы)  

Имеется ввиду для всех функций.

ПС:
Сейчас почитал,как я там "по-русски" писал  Всё же благодаря форуму уровень моего русского языка заметно поднялся по сравнению с тем временем  ))

Добавлено @ 16:02 

Можно, можно  см.выше.
Наверняка ты интерграл имел ввиду...

впрочем, слишком уж похожи аргументы на "холиварные": "не знаю почему, но мне кажется, что сложно"   лучше давайте обсудим уже сделанные в эту сторону шаги

Вот, поиграйте, кому интересно 

Добавлено @ 16:23 
А это повидимому та самая либа.. http://www.ginac.de/ (сужу по дате выхода в свет).

Незнаю как по стандартам РФ,но у нас скажем в школе ИМХО ее проходят "неправильно".
Не дается понятие малой окрестности,приращения и прочего.Это все делают бегло.
Школьникам быстренько дается список элементарных производных и все.Делайте себе шаблонное решение.Подставил - получил,отметил ответ.
И потом,когда ты уже в универе,тяжело адаптироваться,в самом начале.Ты привык к шаблонам,а тут на тебя валится матан всем своим весом.   Первое время просто плакал.Но ниче,привык.

Вот и тут в ветке,к словам:

я прикрепил смысл именно того,что человек все же должен разобраться в природе того,с чем имеет дело.Конечно он может спокойненько просто использовать формулу и напишет свой калькулятор.Но много ли ему лично будет пользы от того что он перекатит с учебника и подгонит под свою задачу?
Гы,для нахождения ЛЮБЫХ интегралов в смысле классической математики,ИМХО нужен ИИ,который должен быть покруче людского.  

Это сообщение отредактировал(а) MakedoneZ - 3.1.2007, 17:45

Задача вычисления производной аналитически - решенная задача и ее можно решить также на компьютере.


Задача вычисление интегралов в общем случае в аналитическом виде не разрешима.

ИИ никогда не будет круче человека. Ибо любой комп эквевалентен машине тьюринга, а мощносит человеке не ниже мощности машины тьюринга.

Нельзя так говорить. Надо область указывать. Например умножать числа эта машинка будет во много раз "круче" и быстрее любого человека по-любому.

ПС:
У ИИ вообще нет определения 

Победителю ученику,от побежденного учителя. (с)
Знаешь эти слова?   

Равно как и у понятия "Естественный интеллект".   

PS.Ты случем не Esperanto c Исходниов?   

Это сообщение отредактировал(а) MakedoneZ - 3.1.2007, 21:11

Станислав Лем. Голем XIV

http://integrals.wolfram.com/index.jsp
Ого!
Интеграл sin(x^3)*dx как вычислить? Заменой и по частям- криво. По частям без замены- еще хуже...
Сайт вычислил что-то страшное.

И еще на закуску Интеграл  x*(2-x)*Sin(x^2)*dx
Что такое интеграл Фреснеля(так вроде)?
А у нас это на сессии будет!!! Как решать?

Это сообщение отредактировал(а) SoWa - 3.1.2007, 21:41

Имеется в виду, что все что решит ИИ сможет решить и человек. Т.е человек может и сделает это медленей но сделает.

Поэтому нельзя говорить, что будет время и ИИ будет делать такие вещи что людям и не снилось.

Нет. 

ИИ не сильней машин Тьюринга, Человек не слабей машины тьюринга. С точки зрения проблем вычислимости и разрешимости.


пс: да я этот Эсперанто с исходников

Встречный вопрос: какое значение у cos(0,25), sin, arctg(5)?

И правильно  Или ты хотел, чтобы у твоих однокласников (которые не особо шарили в математике) закипел моск? 

Я бы сказал, что сначала мы должны научиться их вычислять 

Интегралы Френеля

надо подумать над таким аргументом  и правда - всё равно ведь через ряды вычислять можем   

Если через ряды, то дифференцирование и интегрирование проходит на раз 

Это вы так умно говорите о многочлене Тейлора?

А кто ответит, как по простому интегрировать функцию sin(x^3)*dx. Т.е. без интеграла Френеля можно(Боюсь препода напугать  )?

Есть еще ряды Фурье  Но мы, я точно, о Тейлоре 

Фурье я пока не знаю, а вот с Телором все просто.
Кстати, на страничке о интегралах Френеля нету алгоритма, как вычислять на бумажке. Или так и оставить: С(x)?

Это сообщение отредактировал(а) SoWa - 4.1.2007, 14:32

я тоже. точнее, ряды Тейлора/ряды Макларена. Не помню,что конкретно, но один - частный случай второго, когда производные отталкиваются от значения в точке 0.
Фурье хитрее, и опять же - синусы/косинусы рядов Фурье при вычислении будут сводиться в умножения/сложения в ряде Тейлора. Потому не стОит огород городить. 

Тейлора лучше сводить к ряду Макларена... Проще вычислять.

Интегралы Френеля используются в оптических волновых процессах. Это так, добавление. В матанализе он как правило, не нужен...


Это если удается использовать стандартное разложение 


Ты хорошо себе представляешь этот ряд? Его интегрировать не шибко удобно...


Тут все банально. X под дифференциал, далее по частям.


Синус в кубе или аргумент в кубе? Если аргумент, то все очень печально  Просто по частям берешь 

Добавлено @ 14:39 

Это ряд Макларена.

Очень даже 


И что сложного?


Может что-то упустил, но не суть важно 

Вообще-то, коэффициенты an, bn - интегралы, от функции, домноженной на cos(nx)...

Аргумент в кубе. Хм. Интересно. Первые два раза не получилось. На третий пошло. По частям - x^2  под дифференциал - Замена. Легко.
Спасибо!

Это сообщение отредактировал(а) SoWa - 4.1.2007, 16:14

Mal Hack, да, но если у нас уже есть ряд, то 
Я про это и говорил 

Это сообщение отредактировал(а) ivashkanet - 4.1.2007, 15:26

Ряд Лорана есть обобщение ряда Тейлора на отрицательные степени разложения функции в ряд. Ряд Тейлора входит в ряд Лорана как составная часть, к разложению функции по положительным степеням добавляется разложение по отрицательным степеням

Wiki...

SergeCpp, это уже для ТФКП...

SergeCpp, спасибо. я про это даже и не слышал. 

Если уж речь пошла про интегралы и производные то мистер  Ито и компания определили интегралы и производные не по dx  а по Броуновскому движению.

При таком определении  не работают ни обычное дифф-ие ни интегрирование. Разложение в ряд Тейлора в окрестности точки, требует всегда членов до второй производной.

В этом исчислении, существуют также и диф. уры.
Знаменитое уравнение Блека Шолса за которое им дали нобелевку, было сформулировано как стохаст-е диф. ур-е.


Вот еще отличие:
Как известно dx*dx=0
Но dW(x)dW(x)=dx для W(t)  стандартного броуновского движения.

Это сообщение отредактировал(а) esperant0 - 4.1.2007, 16:48

Мне не известно   
Можно поподробнее   

Можно.

Возьмем интервал от [0,м]

Integral( dx,0..м)= м
integral (dxdx,0..м)=Summ[  ( dx(k) )^2,k=0,....]=summ[ (x(k-1)-x(k))^2,k=0,1,... длина максимального отрезка в разбиении стремится к нолю]<=delta*summa [x(k-1)-x(k),k=1,0]->0*м=0

delta длина максимального отрезка в разбиении, которая стремиться к нолю,
как известно произведение послледовательности стремящейся к нолю, на ограниченную последовательность в пределе равно 0.

Получили
Integral( dx,0,k)= k
integral (dxdx0,k)=0

Вопрос: В каких случаях интеграл от неотрицательной ф-ии равен 0?

Это сообщение отредактировал(а) esperant0 - 4.1.2007, 17:00

Я не в курсе, может там математики и напридумывали что-то за последние лет 10-15, но я такое даже не видел.

Что такое интеграл от dx *dx? Что вообще означает это произведение?

Двойной интеграл от dx *dx еще можно понять, но одинарный    

Хотя если посмотреть на интеграл со стороны определения, то все нормально. Так и получается.

Вот только что это дает  
С обычным все понятно --- площадь и обратная операция к взятию производной.
А с этим что делать? Каков в этом смысл? 
Непонятно   

Читать не обязательно, там идут мои рассуждения:
Интеграл это не сумма чего-то там, а предел последовательности сумм, при "мелкости разбиения" стремящемся к нулю... 
Тута неплохо про мелкость рассказать, и про то что это за суммы такие. Но это можно прочитать в книге по МатАн-у  

Если интеграл существует (что еще не факт), то можно не заморачиваться насчет сумм --- пойдут любые.

Поэтому 
lim --- предел при n стремящимся к бесконечности, 
Summ --- сумма от 1 до n

"
Я не в курсе, может там математики и напридумывали что-то за последние лет 10-15, но я такое даже не видел.

Что такое интеграл от dx *dx? Что вообще означает это произведение?

"

Всему этому больше полтинника лет.


Вы знаете определение интеграла? Интеграла Римана или Стильтеса?

Интеграл это некая сумма в пределе.

Так вот эта сумма определена также и для интегралов вида dxdx . И ничто нам не мешает посчитать такой интеграл. Просто он равен нолю. Так зачем его считать.


Смысл большой. А какой смысл в комплексных числах их же не существует. ;).


ВОт

Добавлено @ 18:04 
Вот еще, если бы интеграл от dxdx не равнялся бы нолю, то интегральное счисление было бы другое.

Возможно, значит наша школа математиков (г. Гомель) идет в другом направлении 

А я о чем говорил 

Я бы сказал была доопределена 
В классическом определении не определена 

Если идти дальше, то это интеграл по произведению мер, но по "одномерному пути". Т.е. По площади, но для прямой   
Что с этим делать дальше   А функция Броуновского движения? Т.е. описан хаос? Причем аналитически? 
Или эта функция так и определяется, как функция, "двухдифференциальный интеграл" которой равен dx?

Но почему тогда она функция Броуновского движения?





Смысл большой    
Например любое уравнение n-ой степени разрешимо в поле комплексных чисел, и имеет ровно n корней --- тоже не плохо 
А взять ТФКП с ее теорией вычетов, а аналитические функции ( комплексные)?..


В общем: хочу ссылку 

Это сообщение отредактировал(а) ivashkanet - 5.1.2007, 10:59

Добрый день.

По поводу ссылки, литературы немало, но литературы для не специалистов в теории мер и прочих высоких абстракции литературы нет практически.

Рекомендую конспект лекций Shreve финансовая математика есть в инете в свободном доступе - лекции на английском самодостаточны. Есть также книжка этого Шрева тоже хорошая но в инете ее не видел. Можно только купить.

Вообщем все это очень интересно.


А броуновское движение еще Эйнштей описал. 


Также есть книжка на русском Оксиндаля Стохаст-е диф. ур-я. книжка ничего, но для знатоков теории мер, топологии и прочей. 

с уважением

НА википедии тоже что-то есть

esperant0, пасиб. 
Но я протсо хотел для собственного развития 
А не загрузиться на неделю-месяц   
Мне бы статейку на несколько страниц (можно на английском).

Как этот интеграл называется (по двум дифференциалам)?

Немного есть тут
http://en.wikipedia.org/wiki/Ito_integral


Кстати так же как комплексные числа разширяют действительные, случайные диф.уравнения разширяют обычные.
И что поделать, наша жизнь, как правило описывается случайными диф. уравнениями