| Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в оригинальном формате |
| Форум программистов > Центр помощи > [Математика, 9 класс] Сравнить 8^9 и 9^8 |
| Автор: ivashkanet 6.5.2007, 18:11 | ||||
| Привет всем. Попалась экзаменационная задачка для 9 класса:
Первую я худо бедно решил:
Вторую даже не смотрел ибо: должно быть решение проще, чем "крутить-вертеть и в итоге получить". Тем более это задача для обычного класса, а не профильного. В общем, помогите, чем смогёте, а за мной не заржавеет ;-) P.S. Честно признаюсь, я бы ее на экзамене в 9 класcе не решил   |
| Автор: mr.Anderson 6.5.2007, 18:57 |
| Если я не ошибаюсь, то решение второй задачи (как и первой) очень простое. 9 ^ 10 и 10 ^ 9 приводим к одной степени - возводим 9 в следующую степень. Получаем: 81 ^ 9 и 10 ^ 9 Поскольку степенные показатели одинаковы, а 81 > 10, то очевиден вывод: 81 ^ 9 > 10 ^ 9 значит 9 ^ 10 > 10 ^ 9 Можно проверить на калькуляторе. |
| Автор: JAPH 6.5.2007, 19:14 |
9^10 = 81^9?  Проверьте на калькуляторе!9^10 = 81^5 > 80^5 = 8^5 * 10^5 = 2^15 * 10^5 = 32768 * 10^5 > 10000 * 10^5 = 10^9. |
| Автор: mr.Anderson 6.5.2007, 19:17 | ||||
Может, я сегодня с распухшей головой и плохо соображаю... Но если мы возведем с помощью Windows-калькулятора 9 в 10-ю степень, то получим число
Если же проделать 10 ^ 9, то получим
Попробуйте сами. |
| Автор: ivashkanet 6.5.2007, 19:45 |
| JAPH, спасибо, я второе тоже решил. Но вопрос не в том как решить, а в том, что это задача для 9 непрофильного класса обычной школы. Она ДОЛЖНА решаться просто. Вот это простое решение я и ищу (перечитал пост, действительно не сильно на этом внимание сконцентрировал). Тем более числа интересные: x^(x+1) и (x+1)^x --- должна быть система. P.S. mr.Anderson, 81 ^ 9 = (9^2)^9 = 9^18 != 9^10 (понимаю, школа давно была, я тоже так иногда "решаю" ;-) ) |
| Автор: mr.Anderson 6.5.2007, 19:47 |
ivashkanet, нет, школа была недавно, я ее еще даже не окончил.  Что-то сегодня голова распухшая просто.Не выложите свое решение? Интересно. |
| Автор: ivashkanet 6.5.2007, 19:52 | ||||
Тем более возвести 8 в пятую степень без калькулятора будет не так-то просто  P.S. Мое решение:
|
| Автор: Void 6.5.2007, 19:53 | ||
Возвести 9 в 10-ю степень на бумажке столбиком занимает 2 минуты У меня образовался следующий ход рассуждений, не знаю уж насколько подходящий для 9-го класса. Очевидно, что вопрос сводится к lg 9 ??? 0,9 Теперь: lg 1 = 0 < 0,1 lg 5 > 0,5, т.к. 10^0,5 = sqrt(10) ≈ 3,1 lg 10 = 1 = 1 lg 20 < 2, т.к. 10^2 = 100 Логарифмическая функция монотонна, следовательно lg x > x / 10 на всём участке от x = a ∈ (1; 5), lg a = a / 10 до x = 10. Это легко понять, мысленно представив себе графики y = x / 10 и y = lg x. |
| Автор: mr.Anderson 6.5.2007, 19:54 |
| Void, для 9 класса явно неподходящий (у нас, например, логарифмы пойдут только в 11 классе ) |
| Автор: Voldemar2004 6.5.2007, 19:57 | ||
 9 ^ 10 = 3^(2*10) = 3 ^ 20 10 ^ 9 = 3^( 2.0956(6) * 9 ) ~ 3^(18.86094) 20 > 18.86094 значит 9^10 > 10 ^9 Что такое нам давали на лекции на 1-ом курсе в качестве разминки в инсте, только там нужно было сделать с помощью логарифмирования, более точный метод кстати  |
| Автор: ivashkanet 6.5.2007, 20:00 | ||||
Согласен, но это не "математика", а "арифметика".
Логарифмы идут только в 10-11 классе |
| Автор: powerfox 6.5.2007, 20:07 | ||
10lg9 ??? 9lg10 20lg3 ??? 9 9^10 > 10^9 У нас в 9-м были логарифмы, но был математический класс. |
| Автор: ivashkanet 6.5.2007, 20:14 | ||
Не факт, так как lg 3 < lg 10 =1 Добавлено через 2 минуты и 15 секунд Так, бразы, хватит решать, решение уже есть. Вы дайте хорошее быстрое решение, которое можно рассказать в 9 не математиеском классе и многие поймут  |
| Автор: powerfox 6.5.2007, 20:40 | ||
9*9^9 (9+1)^9 / обе части на 9^9, левую - почленно. 9 1 + (1/9)^9 9 1 + 9^-9 -1 8 9^-9 lg8 -9lg9 + - > |
| Автор: maxim1000 7.5.2007, 00:37 | ||
не совсем: (1+1/9)^9 вообще для достаточно больших чисел правая часть близка к e, так что для больших чисел x^(x+1)>(x+1)^x, хотя это сложно рассказать нематематическому классу... |
| Автор: powerfox 7.5.2007, 10:16 | ||
Спасибо, ошибся... Добавлено через 2 минуты и 47 секунд Но способ всё равно рабочий: 9 ??? (1+1/9)^9 9 ??? (9/10)^-9 lg9 ??? -9lg9/10 > |
| Автор: En_t_end 7.5.2007, 13:47 | ||
Ну уж степени двойки должен знать каждый |
| Автор: ama_kid 7.5.2007, 13:51 |
Кажись, в 9-м классе уже проходят замечательные пределы, поэтому думается, что через них эта задача решается достаточно просто: Выражение в правой части - ни что иное, как "второй замечательный предел", который, как известно, равен e~= 2,78. Таким образом, при X>e у нас будет всегда выполняться условие x^(x+1)>(x+1)^x. |
| Автор: ivashkanet 7.5.2007, 14:00 | ||||
каждый... программер
их вообще в обычной школе не проходят ama_kid, с помощью предела ты доказал, что начиная с некоторого х (возможно очень большого) x^(x+1) > (x+1)^x и не более того. Тем более из 2 можно сразу получить 7 |
| Автор: powerfox 7.5.2007, 14:04 | ||
Не, не проходят |
| Автор: ama_kid 7.5.2007, 14:07 | ||||
| ivashkanet Правая часть неравенства - стремится к е=2,78... снизу, левая - представляет собой саму величину Х, так что никакого "возможно очень большого". После того, как х станет больше е - неравенство становится гарантированным...
Учась в обычной школе, я проходил их в 9-м классе... |
| Автор: ivashkanet 7.5.2007, 14:44 | ||||
А где это видно?
Интересная школа |
| Автор: Ryoga 7.5.2007, 15:17 | ||
Это откуда видно? lg9/10 - число отрицательное. ivashkanet, дайте уж тогда список требований, а то, что не скажи, всё не проходили... З.Ы.: Вообще, интересно было бы у препода потом спросить... |
| Автор: ivashkanet 7.5.2007, 15:41 | ||
Ryoga,  Так я же говорил, что главный критерий --- возможность не только рассказать 9-тиклассникам обычной школы (оно есть см. первый и третий посты и мой третий пост), а еще, чтобы они могли сами до этого додуматься (обычный ученик, который имеет 5, но не более того (не олимпиадник)).
У какого? Я сам себе препод (высшее мат образование ;-) ) |
| Автор: ama_kid 7.5.2007, 17:39 | ||||
Подставим х=1: имеем lim(1+1/1)^1 = 2<e. Теперь предположим, что у нас имеются некоторые значения х>e, удовлетворяющие изначальному пределу => тогда можно утверждать, что должно существовать конечное решение уравнения (1+1/x)^x=e или (1+1/x)=e^(1/x) (точка пересечения этих функций). Другими словами, нам надо найти такое х0, для которого удовлетворяется условие lim((1+1/x)/e^(1/x))=1 при х->x0. Применив http://ru.wikipedia.org/wiki/Правило_Лопиталя для наших функций (а они удовлетворяют всем условиям правила Лопиталя), мы получаем, что lim((1+1/x)/e^(1/x))=lim(1/e^(1/x)) и приравнивая это выражение к требуемой единице, мы получаем, что оно выполняется ТОЛЬКО для х=INF, следовательно условие lim((1+1/x)/e^(1/x))=1 выполяняется только для х0=INF. Никакое другое x0 не даст требуемого равенства. Поэтому конечного решения нашего уравнения (1+1/x)=e^(1/x) нет, и следовательно исходное предположение о наличии точек по другую сторону от прямой e неверно... Уффф... доказал, как смог, если где недоглядел - звиняйте...
|
| Автор: Ryoga 7.5.2007, 23:10 | ||
ivashkanet, да кто там помнит, что в этом девятом классе проходят, да и школы разные - вон, мнения уже разделились...
Я, если честно, подумал, что эта задачка попалась какому-нибудь младшему брату/племяннику/знакомому или что-то в этом роде, вот и предложил потом спросить у препода, который его дал. Видимо, я не так понял... |
| Автор: skyboy 7.5.2007, 23:28 |
| мне кажется, можно заявить, что, мол, до десятки люди знают значения десятичніх логарифмов наизусть тогда: 8^9 == 2^27 9^8 == 3^16 2^27 ?? 3^16 ===> 27lg(2) ?? 16lg(3) 27/16 ?? lg(3)/lg(2) 27/16 ?? 0.477/0.301 27/16 ?? 1.585 1.6875 > 1.585 Добавлено через 6 минут и 42 секунды что-то решение не пришло :( может, в школу вернуться - доучиться.... |
| Автор: maxim1000 7.5.2007, 23:56 | ||
непохоже, чтобы они удовлетворяли первому условию... (либо 0/0, либо бесконечность/бесконечность) |
| Автор: maxim1000 8.5.2007, 00:11 |
| зато пришло в голову такое доказательство: f(x)=(1+1/x)^x не имеет никаких проблем с дифференцируемостью при x>1, так что достаточно доказать, что её производная положительна: g(x)=ln(1+1/x) - 1/(1+x) > 0 предел g на бесконечности - 0 для доказательства её положительности достаточно доказать, что она всегда убывает дляэтого возьмём и её производную: h(x)=1/(1+x) * (1/(1+x)-1/x) множитель 1/(1+x) на знак не влияет, а 1/(1+x)<1/x так что она отрицательна значит, g убывает и при этом стремится к нулю значит, она положительна значит, f возрастает и при этом стремится к e значит, f(*)<e |
| Автор: ama_kid 8.5.2007, 10:23 | ||
| maxim1000 +1 тебе по репе за доказательство моего утверждения...  Доказывать можно по-всякому, но у меня есть желание довести свое доказательство до конца, поэтому в ответ на
(1+1/x)=е^(1/х) - это уравнение, которое необходимо решить для x>0. Если существует конечное решение - тогда имеются точки пересечения соответствующих кривых (см. мой пред. пост). Модифицируем это уравнение след. образом - домножим обе части на е: ((1+1/x)*е)=(е^(1/х)*е) или ((1+1/x)*е)=е^(1+1/х). Обозначим (1+1/x)=t тогда уравнение принимает вид: e*t=e^t или е^(t-1)=t. Это уравнение имеет единственное (тривиальное) решение при t=1 (Если кому-нибудь потребуется доказательство даже этого утверждения - возьмите первую производную и убедитесь, что на участке (1, -INF) производная левой части меньше единицы, а правой - равна 1, следовательно левая часть уменьшается медленнее правой, а на участке (1, INF) - аналогично, возрастает быстрее правой, а значит точек пересечения кроме t=1 у них быть не может). Таким образом 1+1/х = t = 1, а это условие выполняется только для x=INF. Следовательно, конечного решения не существует, следовательно... ну и т.д по тексту моего предыдущего поста... P.S. Боже, как давно я проходил матанализ... Мне даже доставила несравненное удовольствие такая разминка для мозгов...  |
| Автор: ivashkanet 8.5.2007, 11:32 |
Ryoga, задача попалась моей жене (учителю математики 9 класса) при подготовке учеников к экзамену. Вот и били голову  Ибо, как я уже говорил, не каждый ученик с 5-кой за год решит ее, так как они олимпиадного уровня.ama_kid, я же не говорил, что нельзя это доказать (сам это доказывал, да и замечательный предел доказывается из этих соображений), я о том, что, во первых, это нужно сделать (минимум лист доказательства), а во-вторых это не для 9-го класса (они вообще не знают что такое е). Короче, хватит умничать Даешь простое решение (проще чем в начале темы)Если оно есть, конечно |
| Автор: LOPUH 15.4.2008, 08:11 |
| Брр... Развели тут высшую математику... Простое логическое рассуждение: 8/9 < 1, 9/8 >1 => 8/9 < 9/8 или скажем так: 1/8 > 1/9 => 8/9 < 9/8 или я что то не догнал?  блин на дату я и не посмотрел... |
| Автор: powerfox 15.4.2008, 20:56 | ||||
Именно. Там стоит степень, а не знак деления.
Какая-то логика странная... Одну дробь x9, а вторую на 8. И из этого вывод. |
| Автор: LOPUH 16.4.2008, 06:27 |
| Признаю ,был неправ.. И тему древнюю поднял, и ответ сосвсем не туда .. Видно не выспался.. |
| Автор: under_sun 16.4.2008, 18:16 |
| Я так понял, что вопрос не решен... Может такое решение подойдет для 9-ка: 10^9 / 9^10 = (9+1)^9 / 9^10 = (1 + 1/9)^9 * 1/9 = ( (1 + 1/9)^3 )^3 * 1/9 = ( 1 + 3/9 + 3/9^2 + 1/9^3 )^3 * 1/9 < 2^3 * 1/9 < 8/9 < 1 => 10^9 < 9^10 Надеюсь формулу куб суммы в 9 классе еще помнят. |
| Автор: ivashkanet 17.4.2008, 08:32 |
| under_sun, да, твой способ, ИМХО, самый простой. Во всяком случае сразу виден шаблон которому можно научить и который подойдет к большинству задач такого типа, спасибо. Тема закрыта |
